Na tej stronie znajduje się zestawienie wielu różnych granic. Więcej przykładów wraz z omówieniem teorii znajdziesz w kolejnych podrozdziałach. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3\).\(3\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3=0+3=3\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}\).\(-\sqrt{2}\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21\).\(21\)\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21 &=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{n}+21=\\[16pt] &=\frac{1}{5}\cdot 0+21=\\[16pt] &=0+21=21 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}\).\(0\) \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}=0+0-0=0\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n^2+1-(2n^2-1)\right)}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)\)\(\frac{3\sqrt{7}}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(7n^2+3-(7n^2-3)\right)}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n}{n}}{\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{\sqrt{7+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{7-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\)\(-\frac{5}{9}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\ \frac{:n^6}{:n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n^6}{n^6}-\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{9n^6}{n^6}}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{5-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-9}=\\[15pt] &=-\frac{5}{9} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}=\\[12pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{4n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{2n}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}\)\(-1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+3+...+(2n-1)\right)-(2+4+...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &\{\text{w liczniku mamy dwie sumy ciągów arytmetycznych}\}\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n-1)+1}{2}\cdot n-\dfrac{2n+2}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n^2-n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-\dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{-1}{\sqrt{1}}=-1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}\)\(\frac{4}{3}\) W liczniku mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \] W mianowniku również mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \] Zatem mamy: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\)\(1\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\ \frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\sqrt{\dfrac{n}{n^2}+\sqrt{\dfrac{n}{n^4}}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n^3}}}}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{2}\cdot 2^\tfrac{1}{4}\cdot ...\cdot 2^\tfrac{1}{2^n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+...+\tfrac{1}{2^n}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{1}}=\\[16pt] &= 2^1=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6\sqrt{n}+1-n}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}\frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n}{n}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+6\sqrt{\dfrac{n}{n^2}}+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+6\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{1}{n}}+1}=\\[16pt] &= \frac{6+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)W liczniku pod pierwiastkiem mamy sumę ciągu arytmetycznego, zatem: \[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2}}}{n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2n^2}}}{1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}=\\[16pt] &=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\cdot \frac{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+\sqrt{n+1}-n^2+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)(n+1-n)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1+\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}}}=\\[16pt] &=\frac{1+0+1+1+1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2)+(n+1)!}{(n+1)!\cdot (n+2)-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+3)}{(n+1)!\cdot (n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{n+1}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\frac{1}{1}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}\)\(\infty \)\[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}&=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n\left(1+\left(\dfrac{5}{7}\right)^n\right)}{5^n\left(1+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{5}\right)^n=\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} n(\ln (n+1)-\ln n)\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} n\left(\ln \frac{n+1}{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln e=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}\)\(\log_23\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\frac{\log_2(n+1)}{\log_23}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \log_23=\\[16pt] &=\log_23 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)\)\(-\infty \)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 3^n\left(\frac{1}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right)=\\[16pt] &=-\lim_{n \to \infty} 3^n=-\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n\)\(e^5\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^\dfrac{n}{5}\right]^5=\\[16pt] &=e^5 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=e^0=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}\)\(e^6\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{6}}\right]^6=\\[6pt] &=e^6 \end{split} \]Oblicz granice funkcji \(\lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)\)7\[ \lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)=(-3)^2+3\cdot (-3)+7=7 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} \)\(0\)\[ \lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} =\frac{\sqrt{4^2-16}}{4\cdot 4+2}=\frac{0}{18}=0 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} =\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x+3}=\\[15pt] &=\frac{0}{6}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} \)\(4\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)=\\[16pt] &=2\cdot 2=4 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{z \to -2} \frac{z^3+4z^2+4z}{z^2-z-6}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{z \to -2}\frac{z(z^2+4z+4)}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)^2}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)}{z-3} =\\[16pt] &=\frac{0}{-5}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\)\(\frac{2}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\dfrac{1}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}}=\\[16pt] &=\frac{2}{7} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x} \)\(-\sqrt{2}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}\cdot \frac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{|x^2|}-\dfrac{1}{|x^2|}}}{\dfrac{x}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\dfrac{0+\sqrt{2-0}}{-1}=\\[16pt] &=-\sqrt{2} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) \)\(\frac{1}{4}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\left(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)^2}{x-3}=\\[16pt] &=\frac{0}{-1}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}+\dfrac{3x}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}}+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=\\[16pt] &=\frac{3}{\sqrt{1}}=3 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}\)\(-10\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x^2-1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x-1)(x+1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}(x^2+4)(x-1)=\\[16pt] &=5\cdot (-2)=-10 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)2\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2} \)\(\frac{1}{2}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{(1-x)(1+x)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1+x}\cdot \lim_{x \to -1}\frac{1}{1-x}=\\[16pt] &=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} \)\(\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} =\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})}{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \end{split} \]

Strona oferująca bogatą pomoc w nauce matematyki. Na stronie znajdziesz opracowania zagadnień z wielu dziedzin matematyki

Przy obliczaniu granic ciągów korzysta się z wielu właściwości, które zostaną niżej opisane, ale i w oparciu o wiedzę na temat zbieżności elementarnych ciągów. Poniższa tablica zawiera kilka takich ciągów. Granice ciągów - podstawowe wzory Poniższa tabela zawiera podstawowe wzory przydatne przy obliczaniu granic ciągów. CiągGranicaPrzykład Ciąg geometryczny: Dla a1 = 4 i q = 1/2 otrzymujemy ciąg , który jest zbieżny do zera Ciąg stały: Twierdzenie Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów. Niech oraz Prawdziwe są następujące równości: Przykład Jeżeli choć jeden z ciągów z powyższego twierdzenia jest rozbieżny do nieskończoności, to bez dodatkowej analizy nie można nic jednoznacznie stwierdzić o zbieżności ciągu na podstawie twierdzenia o zbieżności sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Obliczanie typowych granic Poniższy przykład jest dość często występującą granicą w zadaniach. W takim przypadku dzielimy każdy wyraz licznika i mianownika przez największą potęgę zmiennej n występującej w mianowniku. Przykład Przykład Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji Obliczanie wartości granic ciągów na podstawie definicji zostanie przedstawiona na przykładach. Przykład Obliczyć granicę ciągu . Jeżeli od razu nie widzimy zbieżności/rozbieżności ciągu, warto narysować sobie szkic wykresu tego ciągu. Widzimy, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej M prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od M. Zakładamy więc, że M jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości n0Zauważamy, że Ponieważ n jest liczbą naturalną, to przybliżenie wykluczy z prawie wszystkich wyrazów ciągu co najwyżej jeden element, więc możemy powiedzieć, że dla dowolnej liczby rzeczywistej M począwszy od n0-tego wyrazu ciągu() prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od liczby z definicją granicą tego ciągu jest nieskończoność. Przykład Wykazać, że Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że zero jest granicą ciągu (an) przy n dążącym do nieskończoności jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba n0, że dla każdego n > n0 spełniona jest nierówność , czyliPonieważ wartość wyrażenia pod wartością bezwzględną jest zawsze dodatnia, możemy opuścić wartość bezwzględną i zapisać:Rozwiązujemy nierównośćPowyższy ułamek jest mniejszy od zera, jeśli licznik jest więc takie n0, równe na przykład , (zapis [ ] oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od n0 prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc zero jest granicą tego ten przykład animacją, żeby lepiej go zrozumieć. Animacja Twierdzenia o granicach ciągów Twierdzenie Prawdziwa jest następująca implikacja: Przykład TwierdzeniePrawdziwa jest następująca implikacja: Przykład Twierdzenie o trzech ciągach Poniższe twierdzenie jest wykorzystywanie często tam, gdzie zawodzą inne metody. Stosuje się je na przykład, gdy we wzorze na n-ty wyraz ciągu pojawia się pierwiastek. Obliczanie granicy ciągu z pierwiastkiem odbywa się więc z wykorzystaniem tego twierdzenia. Oto one: Twierdzenie o trzech ciągach Jeżeli dane są ciągi (an), (bn), (cn), oraz to ciąg bn jest zbieżny i Powyższe twierdzenie przeanalizujmy na przykładzie. Przykład Wiedząc, że , gdzie c jest dowolną liczbą naturalną obliczymy granicęMożemy zapisać, że: Mamy więc spełniony warunek Pierwszy warunek o równości granic również jest spełniony, gdyż Zatem na podstawie powyższego twierdzenia .Zadania z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Obliczanie granic ciągów Zadanie - obliczanie granic ciągówObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej z definicjiWykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granic niewłaściwych z definicjiWykazać, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicjiWykazać na podtawie definicji, że Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - obliczanie granicy ciąguObliczyć granicę Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 5, matura 2016 (poziom rozszerzony)Granica . Wynika stąd, że A. p=-8 B. p=4 C. p=2 D. p=-2Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie maturalne nr 6, matura 2015 (poziom rozszerzony)Oblicz granicę .W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiOtoczenie punktuCo to jest otoczenie punktu? Granica ciąguGranica ciągu - definicja i omówienie właściwości wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2009-09-05, ART-313 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu. Bo jeśli miało być tak, jak jest, to zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania. A jeśli miało być tak, jak piszę, to dostajesz \(\displaystyle{ a _{n}}\) jako sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) i ilorazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\) .

Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Twierdzenie Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe. Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną: Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy. Przykład Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji: Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Granica lewostronna i prawostronna funkcji Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia) w punkcie x0=2b) w punkcie x0=-3Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronneObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a) w punkcie x0=1b) w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica prawostronna i lewostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=-1Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiSąsiedztwo punktuCo to jest sąsiedztwo punktu?Granica funkcjiGranica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy' niewłaściwa funkcjiCo to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?Granica funkcji w nieskończonościDefinicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernychTest wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2010-05-12, ART-860 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu.

Kalkulator limitów krok po kroku. Z wygodnym wprowadzaniem i objaśnieniami! Kalkulator znajduje granicę funkcji poprzez różne przekształcenia, podstawienia, mnożenie przez sprzężenie, czynniki grupujące, regułę L'Hôpitala, rozwinięcie w szereg Taylora, listę wspólnych granic i własności granicznych. 1 Uzupełnienie wiadomości o granicach ciągu Wstęp do analizy, uzupełnienie wiedzy z klasy I,II Wyświetl 2 Granica funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica funkcji w punkcie. Wyświetl 3 Obliczanie granic funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak obliczać trudniejsze rodzaje granic funkcji w punkcie. Wyświetl 4 Granice jednostronne funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się czym jest granica jednostronna funkcji w punkcie. Wyświetl 5 Granice funkcji w nieskończoności W tym temacie nauczysz się liczyć granice funkcji w nieskończonościach. Wyświetl 6 Granice niewłaściwe funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest granica niewłaściwa funkcji. Wyświetl 7 Ciągłość funkcji w punkcie W tym temacie dowiesz się jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Wyświetl 8 Ciągłość funkcji w zbiorze Wiesz już jak określić ciągłość dowolnej funkcji w punkcie. Tym razem rozpatrzymy ciągłość funkcji w zbiorze. Wyświetl 9 Asymptoty wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się czym jest asymptota wykresu funkcji. Wyświetl 10 Pochodna funkcji w punkcie W tym nauczysz się obliczać pochodną funkcji w punkcie. Wyświetl 11 Funkcja pochodna Wiesz już w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji w punkcie. W tym temacie poszerzysz swoją wiedzę na temat pochodnych. Wyświetl 12 Styczna do wykresu funkcji W tym temacie dowiesz się jak wyznaczyć wzór stycznej do dowolnej funkcji przy użyciu rachunku pochodnych. Wyświetl 13 Ekstrema lokalne funkcji W tym temacie poznasz uniwersalną metodę liczenia ekstremów dowolnej funkcji. Wyświetl 14 Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale W tym temacie dowiesz się w jaki sposób wskazać największą oraz najmniejszą wartość funkcji w pewnym przedziale. Wyświetl 15 Badanie przebiegu zmienności funkcji W oparciu o poprzednie działy jesteś w stanie sporządzić poglądowy rysunek dowolnej funkcji. W tym temacie dowiesz się jak to zrobić. Wyświetl 16 Zadania optymalizacyjne Istotą zadań optymalizacyjnych jest wyznaczenie jak najlepszej (najbardziej optymalnej) wartości pewnej funkcji w danym kontekście. W tym dziale znajdziesz przykłady tego typu zadań wraz z ich rozwiązaniami. Wyświetl 17 Pochodna funkcji a monotoniczność funkcji W tym temacie dowiesz się w jakim celu korzysta się z pochodnej w zadaniach dotyczących monotoniczności funkcji. Wyświetl ^{Żeby dobrze zrozumieć pojęcie szeregów liczbowych, warto wcześniej dobrze opanować takie tematy jak ciągi, ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, a także granica ciągu. W poniższym nagraniu wideo omówiam podstawowe pojęcia związane z szeregami}

Zajmijmy się licznikiem. Dla n=1 mamy 1-2 = -1, dla n=2 mamy 1-2 + 3-4 = -2. Dla n=3 mamy -2 + 5 - 6 = -3 i tak dalej. Ogólnie dla n wynikiem jest -n. Licznik możemy inaczej zapisać jako szereg o wyrazie ogólnym (2n-1)-2n. W takim razie jest on równoważny zapisowi (1-2)+(3-4)+...+((2n-1)-2n). Jak widać w każdym nawiasie będziemy mieć -1, więc suma n wyrazów tego szeregu wynosi wzór ogólny upraszcza się do -n/(n+4), więc granica wynosi -1.

Jeśli ktoś wybierze inny rodzaj ogrzewania, może liczyć na 115 tys. zł. Dodatkowe dofinansowanie w wysokości 1200 zł przewidziano na wykonanie audytu energetycznego, który w tym przypadku jest obowiązkowy. Poziom dofinansowania jest uzależniony od zakresu realizowanej inwestycji, ale też dochodów wnioskodawcy. ^{Twierdzenie zbieżny ma tylko jedną przeciwnie, ciąg nieskończony an będzie zbieżny do dwóch granic a i b (a≠b). Weźmy Ƹ = > |a-b|, (zauważ Ƹ>0). Zgodnie z definicją granicy ciągu większość wyrazów ciągu leży w przedziale (a- Ƹ, a+ Ƹ) oraz (b- Ƹ, b+ Ƹ), ale to jest niemożliwe bo przedziały wcześniej podane są rozłączne. Uzyskaliśmy sprzeczność, co udowodniło, że ciąg zbieżny ma tylko jedną twierdzenia dotyczą liczenia nieskończony ciąg an jest ciągiem stałym i an=a, to ciąg an jest zbieżny i Twierdzenie i an≥ 0 dla każdej liczby n, to .Przykład że i Ponadto dla każdej liczby naturalnej dodatniej n dla każdej liczby naturalnej dodatniej n Na podstawie twierdzenia 3 mamy: Twierdzenie |q|0, to ciąg nieskończony an o wyrazie ogólnym an=, n>1, jest zbieżny i Twierdzenie 7. (o trzech ciągach)Jeśli dane są trzy ciągi nieskończone an, bn, cn, oraz istnieje taka liczba , że dla każdej liczby naturalnej prawdziwa jest nierówność , to .Przykład granicę Dla każdej liczby naturalnej dodatniej poniższa nierówność jest prawdziwa:,Czyli Ponadto Zatem na mocy twierdzenia 7:Zadania o zrobienia 1. Wyznacz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = 4 b) an = 3 + Odp. a) 12 b) 32. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = Odp. a) b) 3. Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym an, jeśli: a) an = b) an = c) an = Odp. a) 1 b) -7 c) -1}

Słuchacze z całego świata mogą dziś wybierać spośród ponad 2,9 miliona tytułów*. Tylko na platformie Spotify liczba podcastów w ciągu zeszłego roku wzrosła o prawie 1,5 miliona**. I jakby na ten hype nie patrzeć, koniec końców o sukcesie podcastu decydują - jak w przypadku każdego dobrego contentu - pomysł, jakość, użyteczność i odpowiednio dopasowana dystrybucja. To

Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352 ^{Oblicz granice. Post autor: Iskath » 2 gru 2012, o 21:24 W a) wlasnie tak powinno wyjsc ale nie czaje czemu moim sposobem wychodzi 1 masakra, skąd Wy wiecie jak to liczyć} W tym temacie zamieszczane będą przykładowe rozwiązania zadań, w których należy obliczyć granicę ciągu. Przykłady staram się dobierać w taki sposób, aby pokazać metodę rozwiązywania wszystkich typowych rodzajów granic. W razie dostrzeżenia braków, bądź jakichś błędów (które z pewnością zostały gdzieś niezauważone) proszę pisać do mnie prywatne wiadomości. W przykładach wykorzystywane są poniższe twierdzenia dotyczące granic. Dowody większej części z nich można znaleźć na forum w dziale kompendium analizy. Uwaga: sformułowania niektórych twierdzeń mają charakter nieformalny. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 1 (arytmetyka granic)}}\) Niech \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) będą ciągami liczb rzeczywistych takimi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }a_n=a}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }b_n=b}\). Wtedy zachodzą poniższe równości: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n+b_n)=a+b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n-b_n)=a-b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n \cdot b_n)=a \cdot b}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left ( \frac{a_n}{b_n} \right)= \frac{a}{b}}\) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } (a_n ^{ b_n})=a ^ b}\) O ile odpowiednie działania są wykonalne i nie prowadzą do symboli nieoznaczonych. \(\displaystyle{ \mbox{TW. 2 (o iloczynie ciągu zbieżnego do zera i ograniczonego)}}\) Jeśli \(\displaystyle{ a_n}\) jest ciągiem zbieżnym do zera, a wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są ograniczone (to znaczy, istnieje stała \(\displaystyle{ M}\), taka że \(\displaystyle{ \forall_{n\in \mathbb{N}}. |b_n|0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(2') } \lim_{ n\to \infty } n^a= \infty \mbox{ dla }a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(3) } \lim_{ n\to \infty } q^n=0 \mbox{ dla }|q|1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(4) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{a} =1 \mbox{ dla } a>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{(5) } \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1}\) \(\displaystyle{ \mbox{(6) } \lim_{ n\to \infty } \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n =e}\) \(\displaystyle{ \mbox{TW. 11}}\) Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) o niezerowych wyrazach spełnia: \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=g}\), wtedy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{|a_n|}=g}\) Przykłady obliczania granic: (aby zobaczyć rozwiązanie, należy kliknąć na "Pokaż") \(\displaystyle{ \mbox{1. }a_n= \frac{n}{n+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{2. }a_n= \frac{n^2-1}{3-n^3}}\) \(\displaystyle{ \mbox{3. }a_n= \frac{4n^3-2n}{n^3-n^2+1}}\) \(\displaystyle{ \mbox{4. }a_n=\sqrt{\frac{9n^2-3}{4n^2+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{5. }a_n= \left( \frac{5n-2}{3n-1} \right)^3}\) \(\displaystyle{ \mbox{6. }a_n=\frac{2^n+7^n}{4^n-3\cdot 7^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{7. }a_n= \sqrt{n^2+n}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{8. }a_n= \sqrt[3]{n^3+4n^2}-n}\) \(\displaystyle{ \mbox{9. }a_n= \frac{3\cdot 2^{2n}+1}{4^{n+1}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{10. }a_n= \frac{n}{2^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{11. }a_n= \frac{n^k}{q^n}}\) dla \(\displaystyle{ q>1}\), \(\displaystyle{ k>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{12. }a_n= \frac{c^n}{n!}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ c>0}\) \(\displaystyle{ \mbox{13. }a_n= \frac{\cos \left(n^2\right)}{n-5}}\) \(\displaystyle{ \mbox{14. }a_n= \sqrt[n]{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{15. }a_n=\sqrt[n]{n^5+4n^3+3n-2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{16. }a_n= \sqrt[n]{3^n+4^n+5^n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{17. }a_n= \sqrt[n]{10^{100}}- \sqrt[n]{ \frac{1}{10^{100}} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{18. }a_n= \frac{1+2+3+...+n}{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{19. }a_n= \frac{1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+...+ \frac{1}{2^n} }{1+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{9}+...+ \frac{1}{3^n} }}\) \(\displaystyle{ \mbox{20. }a_n= \left( \frac{n+5}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{21. }a_n= \left( \frac{n^2+2}{2n^2+1} \right)^{n^2}}\) \(\displaystyle{ \mbox{22. }a_n= \left(1+\sin \frac{1}{n} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{23. }a_n=n\left(\ln\left(n+1\right)-\ln n\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{24. }a_n= \frac{1}{n^2+1}+ \frac{ \sqrt{2} }{n^2+2}+ \frac{ \sqrt{3} }{n^2+3}+...+ \frac{ \sqrt{n} }{n^2+n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{25. }a_n= \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n \cdot \left(n+1\right)}}\) \(\displaystyle{ \mbox{26*. }a_n=\sin \left(\pi \sqrt[3]{8n^3-2n^2+7}\right)}\) \(\displaystyle{ \mbox{27. }a_n= \left( 1- \frac{1}{n^2} \right)^n}\) \(\displaystyle{ \mbox{28. }a_n= \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}}\) \(\displaystyle{ \mbox{29. Ciąg zadany rekurencyjnie przez:}\\\\ a_1=\sqrt{2}\\\\ a_{n+1}= \sqrt{2+a_n}}\) \(\displaystyle{ \mbox{30. }a_n=\frac{\left(3n-1\right)!+\left(3n+1\right)!}{\left(3n\right)!\left(n-1\right)}}\) Powyższe przykłady pochodzą po części z książki: W. Krysicki, L. Włodarski: "Analiza matematyczna w zadaniach". Własności i granice ciągów. Oblicz granicę ciągu. Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności. Posty: Kalkulator granic Masz do wykonania obliczanie granic funkcji? Musisz wyznaczyć granice ciągów? Kalkulator online Ci w tym pomoże. Wpisz dane i oblicz granice funkcji - łatwo, szybko i bez błędów. W matematyce pod pojęciem granica kryją się zachowania funkcji (zwłaszcza ciągu), w momencie gdy ich wartości stają się bliskie pewnej wartości lub nieskończoności. Wyznaczanie granicy ciągu lub innych funkcji wykorzystuje się przede wszystkim do definiowania ciągłości oraz pochodnych. Do tego, by wykonać obliczanie granic, służy odpowiedni wzór. Nie musisz go jednak znać ani wiedzieć, jak zastosować go w praktyce, aby wykonać liczenie granicy ciągu lub innej funkcji. Jest bowiem znacznie łatwiejszy sposób na to, by wyznaczyć granice ciągów: kalkulator online. To świetne wsparcie, jeśli nie masz pewności, jak obliczyć granice ciągu albo chcesz porównać swój wynik z profesjonalnym narzędziem. Z pewnością skorzystają na nim uczniowie, nauczyciele i każdy, kto zajmuje się matematyką. Jak wykonać obliczanie granic? Kalkulator krok po kroku Korzystając z naszego kalkulatora, zamiast podstawiać dane pod skomplikowany wzór, wpisujesz je tylko w wyznaczonych polach. W pierwszym uzupełnij funkcję zmiennej x (jak w podanym przykładzie). Następnie ustal punkt, w którym chcesz wykonać obliczanie granic. Kalkulator potrzebuje teraz już tylko informacji o rodzaju granicy - czy jest ona obustronna, lewostronna czy prawostronna? Jej typ możesz wybrać z rozwijanej listy. Następnie klikając w zielony przycisk, oblicz granice funkcji. Poniżej pojawi się Twój wynik i gotowe! Sprawdź, jak to działa i przekonaj się, że obliczanie granic może być łatwiejsze. .

5jt0o43xpe.pages.dev/690

5jt0o43xpe.pages.dev/151

5jt0o43xpe.pages.dev/856

5jt0o43xpe.pages.dev/15

5jt0o43xpe.pages.dev/94

5jt0o43xpe.pages.dev/507

5jt0o43xpe.pages.dev/947

5jt0o43xpe.pages.dev/189

5jt0o43xpe.pages.dev/143

5jt0o43xpe.pages.dev/641

5jt0o43xpe.pages.dev/626

5jt0o43xpe.pages.dev/403

5jt0o43xpe.pages.dev/373

5jt0o43xpe.pages.dev/151

5jt0o43xpe.pages.dev/541

jak liczyć granice ciągu